数学ガール 復習

読書 数学

５章までのまとめ*1

プレーンテキストで数式を書くのはとても見づらくなる。
あと、相加平均と相乗平均の関係はさらに調和平均も含めて絶対不等式があるみたい。

（相加平均）≧（相乗平均）≧（調和平均）

  • 数列とパターン
    • 《数列クイズに正解なし》
  • 数式という名のラブレター
    • 素因数分解の一意性
    • 方程式
      • ある数xについて成立する式
    • 恒等式
      • 任意のxについて成立する式
    • 定義式
      • 複雑な式を定義するもの。
      • 簡略化に使用する
    • 積の形
      • 因子
        • 積を構成している一つ一つの式
    • 和の形
      • 項
        • 和を構成している一つ一つの式
    • 方程式を解くのに和の形だと分かりにくいが、積の形だと一目瞭然
  • 振動と回転
    • 倍角公式
      • sin2θ=2sinθcosθ
      • cos2θ=cosθcosθ-sinθsin
      • θの回転を２回＝２θの回転
    • 1, 0, -1, 0, 1, 0 ･･･
      • cos 2n/π
    • 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, ･･･
      • 複素平面で考えると
        • 1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 -1i, ･･･
      • 単位円
    • 《振動は回転の影》
    • いくつかの見方
      • 整数が単に並んでいる
      • 実数の数直線上で点が振動している
      • 複素平面上で点が回転している
    • より高次元な世界を考えると表現がシンプルになる
      • 整数から実数の数直線
      • 数直線から複素平面
    • 一般項を探すと言うのは隠された構造を見抜くこと
    • ωのワルツ
      • 1, (-1 + i√3)/2, (-1 - i√3)/2, 1, (-1 + i√3)/2, (-1 - i√3)/2 ･･･
      • 数列を調べる常套手段
        • 階差数列
          • dn = cn+1 - cn
        • 比を取る
      • 1, (-1 + i√3)/2, (-1 - i√3)/2はx**3=1の３つの解
        • ３等分
    • ド・モアブルの定理
      • 複素数 cosθ+i･sinθをn乗すると、複素数cos n･θ+i･sin n･θになる
      • 単位円上でθの回転をn回繰り返すのは、nθの回転に等しい
      • n = 2 とすると倍角公式となる
  • フィボナッチ数列と母関数
    • (1-x)(1+x+x**2+x**3+･･･x**n)=1-x**(n+1)
    • 両辺を1-xで割ると
      • 1+x+x**2+x**3+･･･x**n=(1-x**(n+1))/(1-x)
      • 等比級数の部分和の公式
    • 等比数列の無限級数
      • |x|<1のときn→∞ならx**(n+1)→0になる
      • 1+x+x**2+x**3+･･･=1/(1-x)
        • 左辺は無限に続く数列の和
        • 右辺は１つの分数
    • 母関数
      • 1+x+x**2+ を x の関数とする
      • 係数を考えると <1, 1, 1, 1, ･･･>という無限級数
      • 関係を考える
        • 数列 ⇔ 関数
        • <1, 1, 1, 1･･･> ⇔ 1 + x + x**2 + x**3 + ･･･
        • <1, 1, 1, 1･･･> ⇔ 1/(1 - x)
      • 母関数
        • ⇔ a0 + a1 x + a2 x**2 + ･･･
        • 数列に対応付けられた関数を母関数と言う
        • 母関数は x の冪乗の無限和、つまり冪級数として表される
    • 母関数を使って数列の一般項を求める
      • 数列 → 母関数 → 母関数の閉じた式 → 数列の一般項
      • フィボナッチ数列の母関数の閉じた式
        • F(x) = x / (1 - x - x ** 2)
  • 相加相乗平均
    • 絶対不等式
      • 常に成り立つ不等式
    • 恒等式
      • 常に成り立つ等式
    • r**2≧0から（相加平均）≧（相乗平均）を導出
      • r**2 ≧ 0
      • (x - y)**2 ≧ 0
      • x**2 - 2xy + y**2 ≧ 0
      • x**2 + y** 2 ≧ 2xy
      • (x**2 + y** 2) / 2 ≧ xy
      • (x**2 + y** 2) / 2 ≧ √x**2 y**2
      • (a + b) / 2 ≧ √ab a ≧ 0, b ≧ 0
    • 和と積の間の不等式

*1:テキストで数式を記載するのは無理があるので６章以降はやめよう。（2009-05-10記載）